บทนิยาม
ไฮเพอร์โบลา คือ
เซตของจุดทุกจุดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆในเซตนี้ไปยังจุดคงที่สองจุดบนระนาบมีค่าคงตัวซึ่งมากกว่าศูนย์แต่น้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ทั้งสองโดยที่จุดคงที่นี้เรียกว่าจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา
ส่วนประกอบที่สำคัญของไฮเพอร์โบลา
1. จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา
คือจุดกึ่งกลางระหว่างโฟกัสทั้งสอง
ให้ c เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและโฟกัส
2. จุดยอดของไฮเพอร์โบลา
คือจุดที่เส้นโค้งไฮเพอร์โบลาตัดกับ 
จดยอดของไฮเพอร์โบลาจะมี 2 จุด
แต่ละจุดจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
จดยอดของไฮเพอร์โบลาจะมี 2 จุด
แต่ละจุดจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
ให้ a เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและจุดยอด
จุด V' และ V เป็นจุดยอดของไฮเพอร์โบลา
เนื่องจาก V เป็นจุดยอดบนไฮเพอร์โบลา ดังนั้น จากบทนิยามไฮเพอร์โบลา
จะได้ |VF' - VF| = VF' - VF = ค่าคงตัว
แต่ VF' = V V' + V'F' ดังนั้น
ค่าคงตัว = V V' + V'F' - VF
= V V' ( V'F' = VF)
= 2a
แสดงว่า ค่าคงตัวซึ่งเป็นผลต่างในบทนิยาม
จะมีค่าเท่ากับ 2a เสมอ
3. แกนตามขวาง (transverse axis) ของไฮเพอร์โบลา คือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา
แกนตามขวางของไฮเพอร์โบลา คือ
ดังนั้น ความยาวของแกนตามขวางเท่ากับ 2a
4. แกนสังยุค (conjugate axis) ของไฮเพอร์โบลา คือส่วนของเส้นตรง ซึ่งแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับแกนตามขวาง
5. เส้นกำกับ (asypmptote) ของไฮเพอร์โบลา จากจุดยอดและจุดปลายของแกนสังยุคทั้งสองจุด
ถ้าสร้างรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยการลากเส้นให้ผ่านจุดยอดขนานกับแกนสังยุค
และลากเส้นให้ผ่านจุดปลายแกนสังยุคขนานกับแกนตามขวาง
แล้วเส้นตรงที่อยู่ในแนวเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมมีทั้งสองเส้นเรียกว่า
เส้นกำกับของ ไฮเพอร์โบลา
เส้นกำกับจะช่วย ให้เขียนกราฟได้ง่ายและถูกต้องยิ่งขึ้น กล่าวคือ ไฮเพอร์โบลาจะผ่านจุดยอด และอยู่ภายในขอบเขตของเส้นกำกับทั้งสอง โดยที่เส้นโค้งของกราฟไฮเพอร์โบลา จะโค้งหาเส้นกำกับทีละน้อยๆ แต่จะไม่ตัดหรือทับเส้นกำกับดังรูป
เส้นกำกับจะช่วย ให้เขียนกราฟได้ง่ายและถูกต้องยิ่งขึ้น กล่าวคือ ไฮเพอร์โบลาจะผ่านจุดยอด และอยู่ภายในขอบเขตของเส้นกำกับทั้งสอง โดยที่เส้นโค้งของกราฟไฮเพอร์โบลา จะโค้งหาเส้นกำกับทีละน้อยๆ แต่จะไม่ตัดหรือทับเส้นกำกับดังรูป
ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)
มีจุดคงที่หรือจุดโฟกัสสองจุดเช่นเดียวกับวงรี ถ้าเราให้จุดๆ
หนึ่งเคลื่อนที่ไป โดยมีผลต่างของระยะทางระหว่างจุดที่เคลื่อนที่และจุดคงที่ทั้งสองมีค่าคงที่แล้วจุดที่เคลื่อนที่ไปนั้นจะขีดรอยเส้นโค้งขึ้นซึ่งเรียกว่า เส้นโค้งไฮเพอร์โบลา และจะมีเส้นโค้งเช่นนี้ถึงสองส่วนโดยไม่ติดต่อกันเลย
ตามรูป F และ F' เป็นจุดคงที่สองจุด P เป็นจุดที่กำลังเคลื่อนที่โดยมีคุณสมบัติว่า PF'- PF = ค่าคงที่ = Kทางเดินของจุด P จะเป็นส่วนหนึ่งของเส้นโค้งไฮเพอร์โบลา แต่ถ้าเราให้ P' เป็นจุดที่กำลังเคลื่อนที่โดยมีคุณสมบัติว่า
P'F - P'F' = ค่าคงที่ = K
ทางเดินของจุด P ก็จะเป็นอีกส่วนหนึ่งของไฮเพอร์โบลาเดียวกัน
ถ้าลากเส้นตรงผ่าน F และ F' เส้นตรงนี้จะตัดส่วนทั้งสองของเส้นโค้ง ไฮเพอร์โบลาที่ A และ A' ซึ่งเราเรียกว่าจุดยอดของเส้นโค้ง เนื่องด้วย A และ A' ต่างก็อยู่บนเส้นโค้ง ดังนั้น AF'- AF = K = A'F - A'F'
จุด A และ A' ต่างก็เป็นจุดที่ และ AF = A'F' ดังนั้น K = AA' เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา แสดงว่าผลต่างของระยะทางจากจุดโฟกัสไปยังจุดบนไฮเพอร์โบลานั้น เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา
เราอาจจะเขียนเส้นโค้งไฮเพอร์โบลาด้วยไม้บรรทัด เส้นด้าย และดินสอ ดังนี้ กำหนดจุดคงที่ F และ F' ไว้บนกระดาษ ใช้เส้นด้ายที่มีความยาวน้อยกว่าความยาวของไม้บรรทัด และให้ผลต่างของความยาวของไม้บรรทัดและเส้นด้ายน้อยกว่าระยะทางระหว่าง F และ F' พอสมควร ใช้หมุดตรึงปลายข้างหนึ่งของไม้บรรทัดไว้ที่จุด F' ผูกปลายหนึ่งของเส้นด้ายไว้ที่จุด F และผูกอีกปลายหนึ่งไว้ที่ปลายอีกข้างหนึ่ง (ในรูปคือจุด B) ใช้ปลายดินสอดึงเส้นด้ายให้ตึงโดยให้เส้นด้ายส่วนหนึ่งอยู่ในแนวของไม้บรรทัดที่ค่อยๆ หมุนไป ปลายดินสอก็จะขีดรอยเส้นโค้งไฮเพอร์โบลาส่วนหนึ่งซึ่งอยู่เหนือเส้นFF' การเขียนส่วนโค้งส่วนที่อยู่ใต้ FF' ก็เพียงแต่วางไม้บรรทัดตามเส้นประ (ดังในรูป)
การเขียนส่วนที่สองของเส้นโค้ง ก็เปลี่ยนเอาปลายไม้บรรทัดอีกปลายหนึ่งให้หมุนรอบจุด F เอาเส้นด้ายผูกปลายไว้ที่ C และ F' และกระทำเช่นเดียวกันก็จะได้เส้นโค้งส่วนที่สอง
จากรูป PF' - PF = (PF'+ PB) - (PF + PB)
= CB - (PF + PB)
= ความยาวของไม้บรรทัด - ความยาวของด้าย
= ความยาวคงที่จำนวนหนึ่ง
= ระยะทางระหว่าง A และ A'
สมการทั่วไปของเส้นโค้งไฮเพอร์โบลามีแบบเป็น
ตามรูป F และ F' เป็นจุดคงที่สองจุด P เป็นจุดที่กำลังเคลื่อนที่โดยมีคุณสมบัติว่า PF'- PF = ค่าคงที่ = Kทางเดินของจุด P จะเป็นส่วนหนึ่งของเส้นโค้งไฮเพอร์โบลา แต่ถ้าเราให้ P' เป็นจุดที่กำลังเคลื่อนที่โดยมีคุณสมบัติว่า
P'F - P'F' = ค่าคงที่ = K
ทางเดินของจุด P ก็จะเป็นอีกส่วนหนึ่งของไฮเพอร์โบลาเดียวกัน
ถ้าลากเส้นตรงผ่าน F และ F' เส้นตรงนี้จะตัดส่วนทั้งสองของเส้นโค้ง ไฮเพอร์โบลาที่ A และ A' ซึ่งเราเรียกว่าจุดยอดของเส้นโค้ง เนื่องด้วย A และ A' ต่างก็อยู่บนเส้นโค้ง ดังนั้น AF'- AF = K = A'F - A'F'
จุด A และ A' ต่างก็เป็นจุดที่ และ AF = A'F' ดังนั้น K = AA' เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา แสดงว่าผลต่างของระยะทางจากจุดโฟกัสไปยังจุดบนไฮเพอร์โบลานั้น เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา
เราอาจจะเขียนเส้นโค้งไฮเพอร์โบลาด้วยไม้บรรทัด เส้นด้าย และดินสอ ดังนี้ กำหนดจุดคงที่ F และ F' ไว้บนกระดาษ ใช้เส้นด้ายที่มีความยาวน้อยกว่าความยาวของไม้บรรทัด และให้ผลต่างของความยาวของไม้บรรทัดและเส้นด้ายน้อยกว่าระยะทางระหว่าง F และ F' พอสมควร ใช้หมุดตรึงปลายข้างหนึ่งของไม้บรรทัดไว้ที่จุด F' ผูกปลายหนึ่งของเส้นด้ายไว้ที่จุด F และผูกอีกปลายหนึ่งไว้ที่ปลายอีกข้างหนึ่ง (ในรูปคือจุด B) ใช้ปลายดินสอดึงเส้นด้ายให้ตึงโดยให้เส้นด้ายส่วนหนึ่งอยู่ในแนวของไม้บรรทัดที่ค่อยๆ หมุนไป ปลายดินสอก็จะขีดรอยเส้นโค้งไฮเพอร์โบลาส่วนหนึ่งซึ่งอยู่เหนือเส้นFF' การเขียนส่วนโค้งส่วนที่อยู่ใต้ FF' ก็เพียงแต่วางไม้บรรทัดตามเส้นประ (ดังในรูป)
การเขียนส่วนที่สองของเส้นโค้ง ก็เปลี่ยนเอาปลายไม้บรรทัดอีกปลายหนึ่งให้หมุนรอบจุด F เอาเส้นด้ายผูกปลายไว้ที่ C และ F' และกระทำเช่นเดียวกันก็จะได้เส้นโค้งส่วนที่สอง
จากรูป PF' - PF = (PF'+ PB) - (PF + PB)
= CB - (PF + PB)
= ความยาวของไม้บรรทัด - ความยาวของด้าย
= ความยาวคงที่จำนวนหนึ่ง
= ระยะทางระหว่าง A และ A'
สมการทั่วไปของเส้นโค้งไฮเพอร์โบลามีแบบเป็น
ถ้าสังเกตให้ดีจะเห็นว่ามีเส้นตรงสองเส้น ลากผ่านจุดกึ่งกลางของ FF' เส้นตรงสองเส้นนี้จะไปพบเส้นโค้งไฮเพอร์โบลาที่ระยะอนันต์
เส้นทั้งสองนี้มีลักษณะคล้ายเป็นกรอบของเส้นโค้ง
กราฟของสมการ xy = 1 ก็เป็นไฮเพอร์โบลาอีกแบบหนึ่งซึ่งมีแกน x และแกน y เป็นเส้นกรอบ และมีเส้นที่ทำมุม 45 องศากับแกน x เป็นแกนของรูป เส้นโค้งทั้งสี่ชนิดที่กล่าวมานี้คือ วงกลม วงรี พาราโบลาและไฮเพอร์โบลา เป็นเส้นโค้งที่ได้จากการตัดรูปกรวยมีฐานเป็นวงกลมด้วยพื้นราบ ในลักษณะต่างๆ กันดังนี้
ถ้าตัดด้วยพื้นราบซึ่งขนานกับฐาน จะได้รอยตัดเป็นวงกลม แต่ถ้าให้พื้นราบเอียงทำมุมพอสมควรกับฐานจะได้วงรี เมื่อพื้นราบเอียงจนขนานกับเส้นที่ลากจากจุดยอดของกรวยไปยังฐาน จะได้รอยตัดเป็นรูปพาราโบลา แต่ถ้าผ่ากรวยออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันโดยผ่านจุดยอดจะได้เส้นตรงคู่ ถ้าใช้กรวยขนาดเท่ากันสองกรวยวางให้จุดยอดต่อกัน (ดังรูป) แล้วตัดด้วยพื้นราบซึ่งตั้งได้ฉากกับฐานของกรวย จะได้รอยตัดเป็นรูปไฮเพอร์โบลาสองส่วนอยู่บนกรวยแต่ละส่วน เราจึงถือว่า วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา และเส้นตรงคู่เป็นเส้นโค้งจากภาพตัดของกรวย (conic sections)
กราฟของสมการ xy = 1 ก็เป็นไฮเพอร์โบลาอีกแบบหนึ่งซึ่งมีแกน x และแกน y เป็นเส้นกรอบ และมีเส้นที่ทำมุม 45 องศากับแกน x เป็นแกนของรูป เส้นโค้งทั้งสี่ชนิดที่กล่าวมานี้คือ วงกลม วงรี พาราโบลาและไฮเพอร์โบลา เป็นเส้นโค้งที่ได้จากการตัดรูปกรวยมีฐานเป็นวงกลมด้วยพื้นราบ ในลักษณะต่างๆ กันดังนี้
ถ้าตัดด้วยพื้นราบซึ่งขนานกับฐาน จะได้รอยตัดเป็นวงกลม แต่ถ้าให้พื้นราบเอียงทำมุมพอสมควรกับฐานจะได้วงรี เมื่อพื้นราบเอียงจนขนานกับเส้นที่ลากจากจุดยอดของกรวยไปยังฐาน จะได้รอยตัดเป็นรูปพาราโบลา แต่ถ้าผ่ากรวยออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันโดยผ่านจุดยอดจะได้เส้นตรงคู่ ถ้าใช้กรวยขนาดเท่ากันสองกรวยวางให้จุดยอดต่อกัน (ดังรูป) แล้วตัดด้วยพื้นราบซึ่งตั้งได้ฉากกับฐานของกรวย จะได้รอยตัดเป็นรูปไฮเพอร์โบลาสองส่วนอยู่บนกรวยแต่ละส่วน เราจึงถือว่า วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา และเส้นตรงคู่เป็นเส้นโค้งจากภาพตัดของกรวย (conic sections)
สูตรไฮเพอร์โบลา
|
จุดศูนย์กลาง (0,
0)
|
|
|
แกนตามขวางอยู่ที่แกน x
|
แกนตามขวางอยู่ที่แกน y
|
|
1.จุดยอด ( + a , 0 )
2.จุดโฟกัส ( + c , 0
)
3.แกนตามขวางยาว = 2a หน่วย
4. แกนสังยุคยาว =
2b หน่วย
5.เลตัสเรกตัม =
 6.สมการเส้นกำกับ =  |
(0 , + a )
(0 , + c )
2a หน่วย
 |
http://www.krudung.com/webst/2552/501/40/p3.htmlวันที่ 5 กันยายน 2556
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น